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二分查找法

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1.关于二分查找法

二分查找法主要是解决在“一堆数中找出指定的数”这类问题。

而想要应用二分查找法,这“一堆数”必须有一下特征:

  • 存储在数组中
  • 有序排列

所以如果是用链表存储的,就无法在其上应用二分查找法了。(曽在面试被问二分查找法可以什么数据结构上使用:数组?链表?)

至于是顺序递增排列还是递减排列,数组中是否存在相同的元素都不要紧。不过一般情况,我们还是希望并假设数组是递增排列,数组中的元素互不相同

2.二分查找法的基本实现

二分查找法在算法家族大类中属于“分治法”,分治法基本都可以用递归来实现的,二分查找法的递归实现如下:

int bsearch(int array[], int low, int high, int target)
{
    if (low > high) return -1;
    
    int mid = (low + high)/2;
    if (array[mid]> target)
        return    binarysearch(array, low, mid -1, target);
    if (array[mid]< target)
        return    binarysearch(array, mid+1, high, target);
    
    //if (midValue == target)
        return mid;
}


不过所有的递归都可以自行定义stack来解递归,所以二分查找法也可以不用递归实现,而且它的非递归实现甚至可以不用栈,因为二分的递归其实是尾递归,它不关心递归前的所有信息。

int bsearchWithoutRecursion(int array[], int low, int high, int target)
{
    while(low <= high)
    {
        int mid = (low + high)/2;
        if (array[mid] > target)
            high = mid - 1;
        else if (array[mid] < target)
            low = mid + 1;
        else //find the target
            return mid;
    }
    //the array does not contain the target
    return -1;
}


3.用二分查找法找寻边界值

之前的都是在数组中找到一个数要与目标相等,如果不存在则返回-1。我们也可以用二分查找法找寻边界值,也就是说在有序数组中找到“正好大于(小于)目标数”的那个数。

用数学的表述方式就是:

     在集合中找到一个大于(小于)目标数t的数x,使得集合中的任意数要么大于(小于)等于x,要么小于(大于)等于t。

 

举例来说:

给予数组和目标数

int array = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17};
int target = 7;



那么上界值应该是11,因为它“刚刚好”大于7;下届值则是5,因为它“刚刚好”小于7。

3.1.用二分查找法找寻上届

//Find the fisrt element, whose value is larger than target, in a sorted array 
int BSearchUpperBound(int array[], int low, int high, int target)
{
    //Array is empty or target is larger than any every element in array 
    if(low > high || target >= array[high]) return -1;
    
    int mid = (low + high) / 2;
    while (high > low)
    {
        if (array[mid] > target)
            high = mid;
        else
            low = mid + 1;
        
        mid = (low + high) / 2;
    }

    return mid;
}


与精确查找不同之处在于,精确查找分成三类:大于小于等于(目标数)。而界限查找则分成了两类:大于不大于

如果当前找到的数大于目标数时,它可能就是我们要找的数,所以需要保留这个索引,也因此if (array[mid] > target)时 high=mid; 而没有减1。

3.2.用二分查找法找寻下届

//Find the last element, whose value is less than target, in a sorted array 
int BSearchLowerBound(int array[], int low, int high, int target)
{
    //Array is empty or target is less than any every element in array
    if(high < low  || target <= array[low]) return -1;
    
    int mid = (low + high + 1) / 2; //make mid lean to large side
    while (low < high)
    {
        if (array[mid] < target)
            low = mid;
        else
            high = mid - 1;
        
        mid = (low + high + 1) / 2;
    }

    return mid;
}



下届寻找基本与上届相同,需要注意的是在取中间索引时,使用了向上取整。若同之前一样使用向下取整,那么当low == high-1,而array[low] 又小于 target时就会形成死循环。因为low无法往上爬超过high。

这两个实现都是找严格界限,也就是要大于或者小于。如果要找松散界限,也就是找到大于等于或者小于等于的值(即包含自身),只要对代码稍作修改就好了:

去掉判断数组边界的等号:

target >= array[high]改为 target > array[high]

在与中间值的比较中加上等号:

array[mid] > target改为array[mid] >= target


4.用二分查找法找寻区域

之前我们使用二分查找法时,都是基于数组中的元素各不相同。假如存在重复数据,而数组依然有序,那么我们还是可以用二分查找法判别目标数是否存在。不过,返回的index就只能是随机的重复数据中的某一个。

此时,我们会希望知道有多少个目标数存在。或者说我们希望数组的区域。

结合前面的界限查找,我们只要找到目标数的严格上届和严格下届,那么界限之间(不包括界限)的数据就是目标数的区域了。

//return type: pair
//the fisrt value indicate the begining of range,
//the second value indicate the end of range.
//If target is not find, (-1,-1) will be returned
pair SearchRange(int A[], int n, int target) 
{
    pair r(-1, -1);
    if (n <= 0) return r;
    
    int lower = BSearchLowerBound(A, 0, n-1, target);
    lower = lower + 1; //move to next element
    
    if(A[lower] == target)
        r.first = lower;
    else //target is not in the array
        return r;
    
    int upper = BSearchUpperBound(A, 0, n-1, target);
    upper = upper < 0? (n-1):(upper - 1); //move to previous element
    
    //since in previous search we had check whether the target is
    //in the array or not, we do not need to check it here again
    r.second = upper;
    
    return r;
}



它的时间复杂度是两次二分查找所用时间的和,也就是O(log n) + O(log n),最后还是O(log n)。


5.二分查找法的缺陷

二分查找法的O(log n)让它成为十分高效的算法。不过它的缺陷却也是那么明显的。就在它的限定之上:

必须有序,我们很难保证我们的数组都是有序的。当然可以在构建数组的时候进行排序,可是又落到了第二个瓶颈上:它必须是数组

数组读取效率是O(1),可是它的插入和删除某个元素的效率却是O(n)。因而导致构建有序数组变成低效的事情。

 

解决这些缺陷问题更好的方法应该是使用二叉查找树了,最好自然是自平衡二叉查找树了,自能高效的(O(n log n))构建有序元素集合,又能如同二分查找法一样快速(O(log
n))的搜寻目标数。








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